Лемма о вложенных отрезках

1 . Пусть есть система вложенных отрезков \(\{I_{n}\}\), тогда \(\exists C \in \mathbb{R}: c \in I_{n} \forall n \in \mathbb{N}\) (то есть у них есть общие точки).

1. Если система вложенных отрезков стягивающаяся, то такая точка \(C\) – единственная.

1. Доказать от противоречия, что любой левый конец левее правого конца. А значит по принципу полноты, есть \(C\) разделяющее левые и правые концы.
2. Пусть такая точка не одна. Тогда будет отрезок между этими точками, меньше которого отрезки последовательности быть не могут, а значит и последовательность не может быть стягивающейся.

• Analysis