Первый замечательный предел
\(\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)
Доказательство: Пусть \(x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\), тогда \(\sin x < x < \tan x\). И далее выразить синус, \(x\) и тангенс через площади треугольников в тригонометрической окружности.
Предел косинуса
\(\lim_{x \rightarrow 0}\cos x = 1\)
Доказательство: рассмотреть \(|1 - \cos x|\)
Предел тангенса
\(\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x} = 1\)
Следует из предыдущих двух заголовков.
Предел арктангенса
\(\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\arctan x}{x} = 1\)
Предел арксинуса
\(\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\arcsin x}{x} = 1\)
Ещё пример
\(\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^{2}} = \dfrac{1}{2}\)