Теорема Больцано-Вейерштрасса

Пусть последовательность ограничена, тогда у неё есть частичный предел.

Другими словами: если последовательность ограничена, то в ней найдётся сходящаяся подпоследовательность.

То есть из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: Разбиваем отрезок пополам и выбираем ту часть, в которой бесконечно много элементов и ещё раз и ещё раз… Мы получим систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю – система стягивающихся отрезков. По лемме о вложенных отрезках, у всех отрезков есть единственная общая точка. В любой окрестности этой точки бесконечно много элементов последовательности. Предел подпоследовательности и будет равен этой точке.