Дифференцируемая функция

Функция \(f\) называется дифференцируемой в точке \(a\), если \(\forall h \in \overset{\circ}{U}(0)\) выполнено равенство f(a+h) - f(a) = Ah + α(h)h$, где \(A\) – некоторое число, \(\lim_{h \rightarrow 0} \alpha(h) = 0\).

Если \(f\) дифференцируема в другой точке, то, вообще говоря, число \(A\) другое, \(\alpha\) – другая бесконечно малая, \(\overset{\circ}{U}(0)\) – тоже другая. То есть эти объекты зависят от точки. Поэтому иногда пишут: \(f(a+h)-f(a) = A(a)h + \alpha(a,h)h\).

Дифференцируемые функции это те и только те, у которых локально всё устроено как у прямых. В маленькой окрестности точки это просто прямые.