Раскрытие неопределённостей (правила Лопиталя)
1-е правило Лопиталя (неопределённость вида \(\dfrac{0}{0}\))
Пусть:
- \(f\) и \(g\) определены и дифференцируемы на \((a, b)\)
- \(\lim_{x \rightarrow b-}f(x) = \lim_{x \rightarrow b-}g(x) = 0\)
- \(g^{\prime}(x) \cancel{=} 0 \;\; \forall x \in (a, b)\)
- Существует конечный или бесконечный предел \(\lim_{x \rightarrow b-}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)
Тогда справедливо равенство \(\lim_{x \rightarrow b-}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b-}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\).
2-е правило Лопиталя (неопределённость вида \(\dfrac{\infty}{\infty}\))
Пусть:
- \(f\) и \(g\) определены и дифференцируемы на \((a, b)\).
- \(\lim_{x \rightarrow b-}g(x) = \infty\)
- \(g^{\prime}(x) \cancel{=} 0 \;\; \forall x \in (a, b)\)
- Существует конечный или бесконечный предел \(\lim_{x \rightarrow b-}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\)
Тогда справедливо равенство \(\lim_{x \rightarrow b-}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow b-}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\).