1-я теорема о среднем
Пусть \(f\), \(g\) интегрируемы на \([a, b]\) и \(g(x) \geqslant 0 \forall x \in [a,b]\). Тогда:
\[ \exists \mu \in \mathbb{R} \colon \int_a^b f(x)g(x)dx = \mu \int_a^b g(x)dx, \;\; \mu \in [\inf_{[a,b]} f(x), \sup_{[a, b]} f(x)] \]
А если \(f\) ещё и непрерывна на \([a, b]\), то \(\exists c \in [a, b] \colon f(c) = \mu\)
Ещё один факт
Если функция \(f\) непрерывна, то \(exists c \in [a, b] \colon f(c) = \mu\). Тогда \(\int_a^b f(x)g(x)dx = f(c)\int_a^b g(x)dx\)
Ещё один интересный факт, если g = 1
Если \(g(x) \equiv 1\) на \([a, b]\) и если \(f\) непрерывна на \([a, b]\), тогда \(\int_a^b f(x)dx = f(c)(b-a)\)