Теорема Лагранжа и следствия
Пусть:
- \(f\) определена и непрерывна на \([a, b]\)
- \(f\) дифференцируема на интервале \((a, b)\)
Тогда существует такая точка \(c \in (a, b)\), что \(f(b) - f(a) = f^{\prime}(c)(b - a)\)
Интерпретация: В какой-то момент мгновенная скорость будет равна средней.
Теорему Лагранжа называют формулой конечных преращений.
Следствие 1
Пусть функция \(f\) определена и дифференцируема на интервале \((a, b)\) и \(f^{\prime}(x) = 0 \forall x \in (a, b)\) . Тогда функция \(f\) постоянна на \((a, b)\).
Следствие 2
Пусть \(f\) определена и дифференцируема на интервале \((a, b)\). Тогда:
- \(f\) не убывает на интервале тогда и только тогда, когда \(f^{\prime}(x) \geqslant 0 \;\; \forall x \in (a, b)\)
- \(f\) не возрастает на этом интервале тогда и только тогда, когда \(f^{\prime}(x) \leqslant 0 \;\; \forall x \in (a, b)\)