Сведение к интегралам от рациональных функций
Сводим тригонометрию к рациональным функциям
\(\int \dfrac{dx}{3\sin x + \cos x}\)
Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой и получим рациональную функцию.
Замечание
В таком интеграле лучше сделать замену \(t = \tan x\): \(\int \dfrac{dx}{A\cos^{2}x + B\cos x \sin x + C\sin^{2}x}\)
Пример замены с корнем
Ещё пример с корнем
Когда корень определён, помогают подстановки Эйлера. Тут надо параметризовать окружность.
Тут надо вот так хитро приравнять:
Не все функции допускают рациональную параметризацию
Figure 1: Такой корень не всегда можно рационально параметризовать